Par l'intermédiaire de cette activité préparatoire, nous allons définir la fonction qui est appelée tangente d'un angle aigu.
Pour cela, considérons un quart de cercle de centre O et de rayon 1 cm.
Nous construisons un angle α tel que α soit la mesure de l'angle aigu formé à l'intersection des droites (OC) et (OB).
Appelons A le projeté orthogonal de B sur (OC) et P le projeté orthogonal de B sur (OJ).
La figure ci-dessous représente cette construction.
Il est clair que le triangle OAB est rectangle en A.
Nous pouvons donc déterminer le sinus et le cosinus de l'angle α.
Or, l'hypoténuse [OB] de ce triangle a une longueur OB = OC = 1 cm par construction.
Il est aussi intéressant, dans ces conditions simples, de connaître à quelle hauteur s'élèverait le triangle si sa base était égale à l'unité, c'est-à-dire si [OA] était le rayon du cercle.
Par conséquent, levons la perpendiculaire à (OC) passant par C et appelons D le point d'intersection entre cette perpendiculaire et (OB).
Le triangle OCD est rectangle en C et a donc été obtenu par une homothétie de centre O qui transforme A en C. Le rapport est l'inverse du cosinus de l'angle α, ou encore la sécante de l'angle α.
Appliquons la propriété de Thalès aux triangles OAB et OCD.
Nous obtenons alors :
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La longueur CD est appelée tangente de l'angle α.
Nous avons ainsi déterminé la relation trigonométrique :
L'égyptien Al-Hasib, surnommé « le Calculateur », a étudié les propriétés de la fonction tangente à la fin du IXe siècle.
C'est pourquoi Al-Hasib a de lui-même défini la tangente comme étant l'outil idéal pour mesurer des hauteurs.
En limitant l'application de la fonction tangente au triangle OAB rectangle en A, nous vérifions que 
Nous en déduisons ainsi la propriété fondamentale :
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On utilise encore parfois la fonction trigonométrique cotangente définie comme l'inverse de la tangente :
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