Construire un triangle équilatéral
Le premier livre des Éléments d'Euclide comporte quarante-huit propositions. Je ne propose cependant que la première afin de montrer la structure d'une proposition.
Proposition 1
Texte original
Traduction proposée
- Proposition
- Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.
- Exposition
- Soit AB une ligne droite donnée et finie.
- Détermination
- Il s'agit de construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.
- Construction
- À partir du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence BCD ; puis, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence ACE. Du point C, où les circonférences sont mutuellement concourantes, conduisons aux points A et B les droites CA et CB.
- Démonstration
- En effet, comme le point A est le centre du cercle CDB, la droite AC est égale à la droite AB ; de plus, comme le point B est le centre du cercle CAE, la droite BC est égale à la droite BA. Or, on a démontré que la droite CA est égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA et CB est égale à la droite AB. Étant donné que des grandeurs qui sont égales à une même grandeur sont égales entre elles, la droite CA est égale à la droite CB. Donc les trois droites CA, AB et BC sont égales entre elles.
- Conclusion
- Ainsi, le triangle ABC est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.
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