Et décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.
C'est le troisième et dernier postulat relatif aux constructions géométriques dans les Éléments. Celui-ci porte sur la construction d'un cercle dont le centre A et un point B de la circonférence – ou périphérie, pour reprendre les termes d'Euclide – sont donnés. Une telle construction s'effectue naturellement au moyen d'un compas et le cercle obtenu est unique.
L'intervalle en question est donc celui de la distance AB. Il est aussi possible de tracer ce cercle à l'aide de « l'écart du compas » : la donnée de son angle d'ouverture permet de tracer le cercle sans utiliser le point B.
Pour les constructions de cercle dans l'espace, il faut aussi que soit donné un plan de référence dans lequel sont situés les points A et B, de manière à déterminer de manière unique le cercle ainsi défini.
Il est aussi intéressant de remarquer qu'Euclide n'explique pas dans ce postulat comment il est possible d'obtenir le cercle en entier à partir du simple report de la distance AB. Rien ne dit en effet que le cercle s'obtient à l'aide d'une rotation du point B donné autour du centre A du cercle. La conservation de la distance n'est pas explicitement mentionnée.