Une ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
Cette définition introduit la notion de « ligne droite ». C'est ce que nous nommons habituellement « droite ». C'est une variété de lignes : les lignes rectilignes.
La définition d'une surface plane utilise ce même langage obscur dans la septième définition de ce livre. Le premier postulat indique qu'une ligne droite peut être tracée entre deux points quelconques tandis que le deuxième postulat énonce qu'une ligne droite peut être prolongée, de telle sorte qu'une droite puisse être tracée à l'infini.
Il est aussi intéressant de nous demander si d'autres définitions du terme « droite » furent données par la suite.
Gottfried Wilhelm Leibniz nous dit, dans les Opuscules et fragments inédits de Leibniz colligés par Louis Couturat, que « recta est linea quae duobus punctis datis sine ulla alia conditione quam hac, ut ex ipso determinata sit, determinata est », c'est-à-dire que « la ligne droite est la ligne qui est déterminée par deux points donnés sans autre condition que celle-ci, à savoir qu'elle soit par là même déterminée ».
Un raisonnement mathématique est en fait appliqué : la ligne droite est, par définition, déterminée par deux points donnés. Donc, pour définir une ligne droite, il faut nécessairement que deux points soient donnés. Le fait que cette droite soit déterminée par la donnée de deux points montre que cette donnée est une condition suffisante à la détermination de la ligne droite. En conséquence, il suffit de donner deux points pour qu'une droite soit donnée et ce, de manière unique. En effet, lorsqu'il dit « qu'elle soit par là même déterminée », il est fait allusion au fait que cette ligne est droite, puisque avec deux points, seule une ligne droite est déterminée de manière unique, à la différence d'une ligne courbe dont il en existe une infinité passant par deux points donnés. De nos jours, il faudrait aussi la condition que ces deux points fussent distincts ; toutefois, cela semble naturel pour Leibniz.
Avec trois points non alignés, il est en effet possible de déterminer de manière unique une parabole. Et plus généralement, il existe une unique fonction polynomiale de degré n qui interpole n+1 points distincts.
Les définitions populaires d'une droite sont souvent « un fil infini parfaitement tendu » ou « le support du plus court chemin d'un point à un autre ». Dans l'histoire de la mathématique, nous retrouvons moult définitions « pittoresques » ainsi :
Dans son Encyclopédie, Jean Le Rond d'Alembert fit d'ailleurs une critique de ce genre de définitions, non sans ironie, à l'article « Courbe » :
« Une courbe est, dit-on, une ligne dont les différents points sont dans différentes directions, ou sont différemment situés les uns par rapport aux autres. [...] Courbe, ajoute-t-on, pris en ce sens, est opposé à ligne droite dont les points sont tous situés de la même manière les uns par rapport aux autres. On trouvera peut-être chacune de ces définitions peu précise ; et on n'aura pas tort. [...] Peut-être ferait-on mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne droite, par la difficulté et peut-être l'impossibilité de réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle qu'ils présentent d'eux-mêmes. »
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