La longueur de la corde [AB] est caractérisée par sa distance d au centre O du cercle (C).
La distance maximale que peut atteindre d pour que la longueur de la corde soit supérieure à celle du côté du triangle équilatéral inscrit, est la longueur OM. Tant que d < OM, la corde tracée vérifie donc les conditions du problème.
Le rayon du cercle (C) étant r, nous avons :
.
Donc les côtés d'un triangle équilatéral inscrit dans (C) sont situés à une distance 
du centre O du cercle, par invariance de cette distance par des rotations de centre O d'un triangle équilatéral ainsi donné.
Par suite, la distance d de la corde [AB] au centre du cercle ne devra pas excéder , distance du centre O aux côtés d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle.
Si nous considérons le diamètre perpendiculaire à ces cordes – toutes parallèles à [AB] dans notre exemple –, leur milieu H doit appartenir à un segment dont la longueur est 2 × d = r, et qui appartient à un diamètre du cercle (C), de longueur 2r.
Ce raisonnement étant valable pour toutes les directions, cette condition se généralise parfaitement.
Or la distance maximale d'une corde est r, d'où la probabilité P recherchée :
.
Afin de vérifier l'exactitude de la probabilité trouvée lors de la modélisation de cette première approche, le site TrigoFACILE a mis au point un algorithme qui permet de simuler la position du milieu d'une corde tracée au hasard sur un diamètre du cercle.
Testez cet algorithme sans plus tarder en indiquant dans la case ci-dessous le nombre d'itérations désirées puis cliquez sur le bouton de validation.
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Théorie et expérience se rejoignent !
C'est donc que l'expérience nous suggère que cette probabilité est la réponse au problème de Bertrand.
Mais nous ne sommes pas au bout de nos surprises...
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