La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée à l'école primaire. Elle se poursuit en classe de sixième, avec des outils nouveaux. La capacité à distinguer les problèmes qui relèvent de la proportionnalité de ceux qui n'en relèvent pas et à mettre en œuvre les raisonnements qui en permettent la résolution constitue un objectif essentiel, d'autant plus que ces raisonnements sont utilisés dans de nombreuses disciplines. Dans le strict cadre de l'enseignement des mathématiques, la proportionnalité fait l'objet d'un apprentissage continu et progressif sur les quatre années du collège et permet de comprendre et de traiter de nombreuses notions du programme.
À l'école primaire, les élèves ont été mis en situation de prendre de l'information à partir de tableaux, de diagrammes ou de graphiques. Ce travail se poursuit au collège, notamment avec l'objectif de rendre les élèves capables de faire une interprétation critique de l'information apportée par ces types de présentation des données, aux natures très diverses, en liaison avec d'autres disciplines (histoire-géographie, SVT, technologie...).
| Contenus | Compétences | Exemples d'activités, commentaires |
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1.1. Proportionnalité [Programme cycle 3 ; document d'application, p.16 et 17] |
— Traiter les problèmes « de proportionnalité », en utilisant des raisonnements appropriés, en particulier :
— Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n'en relèvent pas. [SVT] |
Les problèmes à proposer (qui relèvent aussi bien de la proportionnalité que de la non-proportionnalité) se situent dans le cadre des grandeurs (quantités, mesures). L'étude de la proportionnalité dans le cadre purement numérique relève du programme de la classe de cinquième. Les situations de proportionnalité se caractérisent par le fait que des raisonnements du type « ... fois plus... » peuvent être mobilisés. Pour chaque situation, l'élève doit être en mesure de mobiliser l'une ou l'autre des trois compétences citées. Les raisonnements correspondants s'appuient :
La propriété additive de la linéarité est également utilisée. Ces différentes propriétés n'ont pas à être formalisées. Les rapports utilisés sont, soit des rapports entiers ou décimaux simples (2,5 par exemple, qui peut être exprimé par « 2 fois et demie »), soit des rapports exprimés sous forme de quotient : le prix de 7 m de tissu est 7/3 fois le prix de 3 m de tissu. |
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— Appliquer un taux de pourcentage [SVT] |
La notion de pourcentage a été présentée au cycle 3, mais aucune procédure experte n'a été étudiée. Il s'agit en classe de sixième de mettre en évidence et de justifier, par exemple, que prendre « 17 pour cent d'un nombre » revient à multiplier ce nombre par 17/100, en relation avec le travail sur la notion de quotient. Mais, dans des cas simples, des solutions plus rapides sont possibles. Par exemple, pour prendre 17 % de 200, les élèves doivent remarquer qu'il suffit de multiplier 17 par 2. | |
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1.2. Organisation et représentation de données [Programme cycle 3 ; document d'application, p.16 et 17] |
— Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté :
[SVT, histoire-géographie] |
Les évaluations à l'entrée en classe de sixième montrent que, dans leur grande majorité, les élèves sont capables de lire les informations fournies par un tableau. Le travail doit donc être davantage centré sur la construction par les élèves de telles organisations : choix des entrées appropriées, présentation des données. Il s'agit d'un premier pas vers la capacité à recueillir des données et à les présenter sous forme de tableau. [B2i] |
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— Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à l'aide d'entiers naturels, de décimaux ou de quotients (placement exact ou approché). [SVT, histoire-géographie] |
Ce travail, indispensable à la compréhension des représentations graphiques utilisant des axes gradués, présente un double intérêt. D'une part, il permet un travail sur la proportionnalité, à partir des relations entre les distances entre deux points et les différences entre les abscisses de ces points. D'autre part, il permet une meilleure compréhension de l'ordre sur les différents types de nombres envisagés. Il est en outre intimement lié aux questions relatives au placement approché des nombres et permet un travail sur les ordres de grandeur. |
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— Lire et interpréter des informations à partir d'une représentation graphique (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires ou demi-circulaires, graphiques cartésiens). [SVT, histoire-géographie] |
Dans ce domaine également, un premier travail a été réalisé à l'école primaire. Les compétences visées vont de la simple lecture d'une information (qui revient, par exemple, sur un graphique, à la lecture des coordonnées) à la capacité à faire une interprétation globale et qualitative de la représentation étudiée (évolution d'une grandeur en fonction d'une autre). Certaines représentations peuvent être obtenues en utilisant un ordinateur. [B2i] |
Cette partie du programme s'appuie naturellement sur la résolution de problèmes. Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec l'école élémentaire, d'associer à une situation concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations figurant au programme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques, cette dernière source de problèmes ne devant pas être négligée.
Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché sous ses différentes formes, souvent utilisées en interaction : calcul mental automatisé ou réfléchi, calcul posé ou instrumenté. À la suite de l'école primaire, le collège doit, en particulier, permettre aux élèves d'entretenir et de développer leurs compétences en calcul mental, ces compétences étant indispensables dans de nombreux domaines.
La notion de quotient occupe une place centrale en sixième, sous ses différentes significations : quotient euclidien, quotient décimal, quotient fractionnaire. Elle permet notamment d'élargir la portée des procédures utilisées à l'école élémentaire pour traiter des situations relevant de la proportionnalité.
| Contenus | Compétences | Exemples d'activités, commentaires |
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| 2.1 Nombres entiers et décimaux | ||
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Désignations [Programme cycle 3 ; document d'application, p. 22 à 24] |
— Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou d'un décimal. — Associer diverses désignations d'un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales. [SVT] |
À partir de l'évaluation des connaissances des élèves, l'objectif est de consolider et d'enrichir les acquis de l'école élémentaire relatifs à la numération de position et à l'ordre sur les nombres entiers et décimaux. Les activités proposées doivent permettre une reprise de l'étude des nombres décimaux, sans refaire tout le travail réalisé à l'école élémentaire, l'objectif principal étant d'assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu'ils occupent dans l'écriture à virgule. Pour cela, diverses mises en relation sont utilisées. Par exemple, 23,042 est mis en relation avec :
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| Ordre |
— Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. — Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. — Placer un nombre sur une demi-droite graduée. — Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement. |
Les erreurs relatives à l'ordre sur les décimaux proviennent le plus souvent d'une interprétation erronée des écritures à virgule. Les règles utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres doivent donc être justifiées en s'appuyant sur la signification des écritures décimales. Le placement sur une demi-droite graduée est pour cela un bon support d'activités. |
| Valeur approchée décimale | — Donner la valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d'un décimal à l'unité, au dixième, au centième près. |
Le travail sur la notion de valeur approchée décimale d'un nombre doit être mené dans des situations significatives : recherche de l'ordre de grandeur du résultat d'un calcul, interprétation du résultat donné par une calculatrice en fonction du contexte. Sans formalisation excessive, les notions d'arrondi et de troncature peuvent être distinguées, notamment en liaison avec l'usage des calculatrices. |
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Opérations : addition, soustraction et multiplication [Programme cycle 3 ; document d'application, p. 25 à 29] |
— Connaître les tables d'addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. — Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. [SVT, histoire-géographie] |
La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La multiplication par 10, 100, 1000 est déjà mise en place à l'école élémentaire. La multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 est à mettre en place en sixième en liaison avec le sens de la multiplication par une fraction décimale : « prendre le dixième (le centième...) d'un nombre ». La multiplication par ces puissances de dix peut être reliée à des problèmes d'échelles ou de changements d'unités. Le terme « puissance » et la notation ab sont hors programme. |
| — Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. |
Le calcul est au service des situations qu'il permet de traiter : le travail sur le « sens des opérations » est essentiel. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l'aide d'une suite de calculs ou à l'aide de calculs avec parenthèses. L'addition et la soustraction de nombres décimaux sont des acquis du cycle 3. Il en est de même de la multiplication d'un nombre décimal par un entier. La multiplication de deux décimaux est, en revanche, à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que, dans ce cas, « une multiplication » n'agrandit pas toujours. |
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| 2.2 Division, quotient | ||
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Division euclidienne [Programme cycle 3 ; document d'application, p. 25 à 29] |
— Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l'aide d'une division euclidienne et interpréter les résultats obtenus. | L'attention des élèves doit être attirée sur la nécessité d'interpréter les deux résultats fournis (quotient et reste) dans le contexte du problème posé : quotient par défaut ou par excès, reste ou complément du reste au diviseur. |
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— Calculer le quotient et le reste d'une division d'un entier par un entier dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté). — Connaître et utiliser le vocabulaire associé (dividende, diviseur, quotient, reste). |
Dans ce domaine également, le calcul mental (en particulier approché) constitue l'objectif prioritaire. La mise en place de techniques « expertes » est poursuivie, en se limitant à des diviseurs à un ou deux chiffres. La compréhension des étapes de la division posée en améliore la maîtrise. Dans cette optique, la pose des soustractions intermédiaires et de produits partiels ne doit pas être prohibée. Les élèves utilisent l'écriture de la relation a=bq+r (r<b) pour contrôler le calcul, dans la continuité du travail entrepris à l'école primaire. La forme littérale de la relation est hors programme. |
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| — Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9. |
La notion de multiple a été introduite à l'école primaire. Elle est rappelée, sur des exemples numériques, en même temps qu'est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. À l'école primaire, les élèves ont appris à reconnaître les multiples de 2 et 5. |
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Écriture fractionnaire [Programme cycle 3 ; document d'application, p. 21 et 22] |
— Interpréter a/b comme quotient de l'entier a par l'entier b, c'est-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. — Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples. |
À l'école élémentaire, l'écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d'une « unité ». Les activités en sixième s'articulent autour de trois idées fondamentales :
Par exemple, 7/3 est un nombre que l'on pourra envisager comme
La remarque est faite que tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de quotient. Par exemple, 0.4 = 4/10 = 2/5. En revanche, certains quotients ne sont pas des nombres décimaux : 7/3 ≠ 2.33. Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur. |
| — Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division. |
Il s'agit de « prendre une fraction » d'une quantité. L'utilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche d'une valeur approchée décimale à la fin de la résolution. Le vocabulaire commun, introduit à l'école primaire, est utilisé : double/moitié, triple/tiers, quadruple/quart. Les élèves doivent être entraînés à effectuer mentalement des calculs utilisant ces expressions, sur des nombres entiers ou décimaux simples. |
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| — Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d'un même nombre. |
Le fait qu'un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul est mis en évidence et utilisé. La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion. La notation a/b peut, à partir de là, être étendue au cas du quotient de deux décimaux et des égalités comme 5.24/2.1 = 524/210 peuvent être utilisées, mais aucune compétence n'est exigible à ce sujet. |
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| Division décimale | — Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d'un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté). |
À l'école élémentaire, les décimaux ont pu intervenir dans des problèmes de division au-delà de la virgule (partage d'une longueur par exemple), mais aucune compétence technique n'a été mise en place. La division décimale permet d'obtenir soit la valeur décimale exacte (quand elle existe), soit une valeur décimale approchée du quotient. Ce qui est indiqué concernant l'extension de la notation a/b au cas de deux décimaux permet d'aborder le calcul d'un quotient de deux décimaux, sans qu'aucune compétence ne soit exigible à ce sujet. |
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— Diviser par 10, 100,1000 [SVT] |
Le lien est fait avec les multiplications par 0,1 ; 0,01. |
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