Modi ponens & tollens & barbara

Le latin et le grec sont omniprésents dans notre langue et notre culture. Quid noui ?

En logique classique, une proposition P ne peut avoir que deux valeurs de vérité : le vrai ou le faux.
Des opérateurs, dont les principaux sont la conjonction « ET » (∧), la disjonction « OU » (∨) et la négation « NON » (¬) permettent de combiner les propositions entre elles.

La logique des stoïciens est fondée sur l'enseignement dispensé par les mégariques. Les stoïciens ont parfaitement défini les lois des connecteurs logiques, ce qui leur permet de manipuler des propositions en fonction de leur dégré de vérité ; leurs variables, désignées par des nombres ordinaux, notent les propositions entières. Cinq propositions admises, puisque indémontrées, sont à la base de la logique stoïcienne. Parmi celles-ci se trouve une proposition qui correspond au modus ponens des syllogismes hypothético-catégoriques actuels :
« Si le premier, le second ; or le premier, donc le second ».

À partir de ces cinq propositions fondamentales, sont démontrées d'autres propositions, grâce à des règles strictes de logique, parmi lesquelles se trouve la relation d'inférence par excellence qui est, pour le logicien Chrysippe, l'implication.
En outre, les stoïciens distinguent expressément le raisonnement en termes concrets et son schéma formel, ainsi que l'inférence et la loi qui la justifie.

Trois procédés de logique mathématique sont dénommés par des expressions latines :

Si la proposition « P implique Q » est vraie ET que la proposition « P est vraie » est vraie, ALORS la proposition « Q est vraie » est vraie. Nous dirons par la suite « la proposition P est vraie » pour « la proposition « P est vraie » est vraie ». C'est le modus ponens, dont la prémisse est vraie :
[(P ⇒ Q) ∧ P] ⇒ Q.
Littéralement, c'est le syllogisme de « la manière en posant » : P implique Q ; or, P est vraie ; donc Q est vraie. On dit que Q est inférée par la règle de détachement, ou de déduction appelée modus ponens.
Si la proposition « P implique Q » est vraie ET que la proposition Q est fausse, ALORS P est fausse. C'est le modus tollens, dont la conclusion est fausse :
[(P ⇒ Q) ET ¬Q] ⇒ ¬P.
Littéralement, c'est le syllogisme de « la manière en ôtant » : P implique Q ; or, Q est fausse – on ôte Q ; donc P est fausse.
Si la proposition « P implique Q » est vraie ET que la proposition « Q implique R » est vraie, ALORS la proposition « P implique R » est vraie. C'est le modus barbara, qui utilise une transitivité :
[(P ⇒ Q) ET (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R).
Littéralement, c'est le syllogisme de « la manière étrangère » : une proposition annexe Q est utilisée pour faire le lien entre les deux propositions P et R.

Iulius et Montcalm répondant à Patrice Ongla.

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